四元数は、実数と虚数の組み合わせを用いて複雑な計算を表現するための重要な数学的ツールです。この記事では、四元数の演算方法をわかりやすく解説し、実際の問題を通じてその解き方を紹介します。
1. 四元数とは
四元数は、通常、次の形で表現されます：a + bi + cj + dk。この式では、a, b, c, dは実数、i, j, kは虚数単位です。四元数は、複素数の拡張として考えることができ、空間的な回転などを表現する際に有効です。
四元数は、通常の加算や乗算などの演算が可能で、物理学やコンピュータ・グラフィックスなどで利用されます。
2. 問題 (1): (2+3i-j)(1+4k)
まず、与えられた問題を分解して解きます。式は次のようになります。
(2 + 3i – j)(1 + 4k) = 2(1 + 4k) + 3i(1 + 4k) – j(1 + 4k)
それぞれの項を計算します。
2(1 + 4k) = 2 + 8k
3i(1 + 4k) = 3i + 12ik = 3i – 12j
-j(1 + 4k) = -j – 4jk = -j + 4i
これをすべて足し合わせると。
2 + 8k + 3i – 12j – j + 4i = 2 + 7i – 13j + 8k
したがって、答えは：2 + 7i – 13j + 8k
3. 問題 (2): (1 + i – k)²
次に、この式を展開します。
(1 + i – k)² = (1 + i – k)(1 + i – k)
二項展開を使うと。
1(1 + i – k) + i(1 + i – k) – k(1 + i – k)
これを計算すると。
1 + i – k + i + i² – ik – k – ki + k² = 1 + 2i – 2k – 1 – i – 2k + 1
最終的に。
0 + i – 4k
したがって、答えは：i – 4k
4. 問題 (3): (3 + 4j)⁻¹(5 + 10k)
まず、(3 + 4j)⁻¹を求めます。四元数の逆数は、次のように計算できます。
逆数の計算式：(3 + 4j)⁻¹ = (3 – 4j) / (3² + 4²) = (3 – 4j) / 25
次に、この逆数を(5 + 10k)に掛け算します。
(3 – 4j) / 25 * (5 + 10k) = [(3 – 4j)(5 + 10k)] / 25
これを展開すると。
3(5 + 10k) – 4j(5 + 10k) = 15 + 30k – 20j – 40jk = 15 + 30k – 20j + 40i
したがって、答えは。
(15 + 30k – 20j + 40i) / 25 = 3/5 + 6/5k – 4/5j + 8/5i
5. まとめ
四元数の計算は、複素数の拡張として非常に強力なツールですが、計算の際には注意が必要です。今回は、四元数の乗算、二乗、逆数を使った問題を解いてきました。これらの演算をマスターすることで、さらに複雑な問題にも対応できるようになります。
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