3次方程式を解くことは、数学の中でも非常に重要なスキルです。この方程式「3x³ + 3x² + 3x + 1 = 0」を解くことで、実数解を求める手順を理解することができます。この記事では、この方程式の解法をステップごとに詳しく解説し、実際に解を求める方法を見ていきます。
方程式の確認と解析
まず、与えられた方程式「3x³ + 3x² + 3x + 1 = 0」を整理します。この方程式は3次方程式で、未知数xについて解くことを目的としています。3次方程式は、一次方程式や二次方程式と異なり、複雑な解法を必要とすることがありますが、解法の手順を知っていればスムーズに進めることができます。
まず、この方程式を見たときに、共通の因数があることに気づきます。各項に3が含まれているため、この共通因数を取り出して簡略化を試みます。
共通因数を取り出す
方程式「3x³ + 3x² + 3x + 1 = 0」において、最初にできることは、全ての項から3を取り出すことです。すると、次のように簡略化されます。
x³ + x² + x + 1 = 0
この形にすることで、解法を進めやすくすることができます。
因数分解の試み
次に、簡略化した方程式「x³ + x² + x + 1 = 0」を因数分解します。まず、この式は、次のようにグループ化することができます。
(x³ + x²) + (x + 1) = 0
これをさらに因数分解すると、次の形になります。
x²(x + 1) + 1(x + 1) = 0
ここで(x + 1)を共通因数として取り出すことができ、次のように因数分解できます。
(x + 1)(x² + 1) = 0
解の求め方
因数分解された式「(x + 1)(x² + 1) = 0」から解を求めます。まず、x + 1 = 0 を解くと、x = -1 が得られます。次に、x² + 1 = 0 を解くと、x² = -1 となりますが、実数解では解を持ちません。したがって、この部分の解は複素数解になります。
実数解としては、x = -1 が唯一の解であることがわかります。
まとめ
このように、3次方程式「3x³ + 3x² + 3x + 1 = 0」を解くためには、まず共通因数を取り出し、その後因数分解を行うことで解を求めることができます。最終的に実数解としてx = -1が得られ、複素数解は存在しないことが確認されました。
このような解法を理解することで、3次方程式の解き方がスムーズにできるようになります。複雑に見える問題でも、ステップごとに分けて解くことで、解答にたどり着くことができます。
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