確率変数X1, X2における共分散の計算と反例の存在

確率変数X1, X2に関する問題は、確率論の基礎として非常に重要です。ここでは、与えられた課題「V[X1] = V[X2]を満たすとき、Cov[X1, X2] = 0が成り立つか」を解説します。また、実際に反例が存在することについても詳しく説明します。

問題の理解：Cov[X1, X2]の意味

まず、共分散（Cov[X1, X2]）とは、確率変数X1とX2の間の関係性を示す指標です。共分散がゼロである場合、X1とX2は互いに独立している、または直線的な関係がないことを意味します。

問題の中で与えられている条件「V[X1] = V[X2]」は、X1とX2の分散が等しいという意味です。この条件だけでは、X1とX2の間に必ずしも共分散がゼロになるわけではありません。次に、与えられた課題を解くために必要な数式を見ていきます。

共分散の計算式は以下のようになります。

Cov[X1, X2] = E[(X1 – E[X1])(X2 – E[X2])]

この式において、E[X]は期待値を表し、共分散はX1とX2の相関関係を示します。もしX1とX2が完全に独立であれば、共分散はゼロとなります。

「V[X1] = V[X2]」の条件だけでは、必ずしも「Cov[X1, X2] = 0」が成り立つわけではありません。実際に反例が存在します。たとえば、X1とX2が非線形に依存している場合でも、分散が等しいことがあり、その場合には共分散がゼロにはならないことがあります。

例えば、X1 = Y、X2 = -Y という設定で、Yが適当な確率変数であれば、V[X1] = V[X2] が成り立つときでも、共分散はゼロにはなりません。このように、単純な条件だけではX1とX2の共分散がゼロであることを証明できない場合があるのです。

問題の「V[X1] = V[X2]」が与えられた場合、共分散がゼロであるかどうかを確認するためには、単純に分散の等しさだけでなく、X1とX2の相関の詳細な構造を考慮する必要があります。確率変数がどのように依存しているか（例えば、線形または非線形）を評価することが重要です。

また、実際に具体的な数値を使って共分散を計算してみることで、理解を深めることができます。

今回の問題では、「V[X1] = V[X2]」だけでは、必ずしも「Cov[X1, X2] = 0」が成り立つわけではないことを学びました。反例を使って、確率変数がどのように依存しているかによって共分散が変わることを確認しました。

確率論では、与えられた条件を正確に理解し、その上で共分散や相関を計算することが求められます。問題を解く際には、条件だけでなく、確率変数同士の関係性を十分に考慮することが重要です。