「x + y + z = 10 を満たす正の整数 x, y, z の組み合わせを求めなさい。」という問題は、数Aの単元における基本的な問題の一つです。この問題を解くための方法をわかりやすく解説します。正の整数を使ってこの等式を満たす組み合わせがいくつあるのか、どのように計算するかを理解することは、数Aの学習において非常に重要です。
問題の理解
問題は、x + y + z = 10 という等式を満たす正の整数 x, y, z の組み合わせを求めるものです。つまり、x, y, z のそれぞれが正の整数であり、その合計が10になるような組み合わせをすべて求める問題です。
正の整数の組み合わせを求める場合、通常は「順番を考慮した組み合わせ」を求める方法を用います。
基本的なアプローチ：変数の変換
このような問題を解くためには、まず「変数の変換」を行うことが一般的です。正の整数 x, y, z をそれぞれ別の変数に変換して、新しい式にします。
具体的には、x = a + 1, y = b + 1, z = c + 1 と置き換えます。ここで、a, b, c は新しい変数で、a, b, c は0以上の整数です。このように変数を置き換えると、元の式 x + y + z = 10 は次のように変形されます。
a + 1 + b + 1 + c + 1 = 10 となり、a + b + c = 7 という式が得られます。
解法：組み合わせの数を求める
この問題は、a + b + c = 7 を満たす「非負整数の組み合わせ」を求める問題に変わりました。これは、「非負整数の組み合わせ」の問題でよく使われる「組み合わせの公式」を使います。
具体的には、「n個のものをk個のグループに分ける方法」を求める組み合わせの数は、次の式で求めることができます。
n + k – 1 個のものから k – 1 個を選ぶ方法の数 = (n + k – 1)C(k – 1)
この問題では、n = 7、k = 3 なので、(7 + 3 – 1)C(3 – 1) = 9C2 の計算を行います。
9C2 = (9 × 8) / 2 = 36 となります。
まとめ
この問題を解くためには、変数の変換を行い、その後組み合わせの公式を用いて計算することが必要です。最終的に、x + y + z = 10 を満たす正の整数の組み合わせは36個であることがわかります。
このような問題では、正しいアプローチを選び、適切な公式を使うことが非常に重要です。問題を解く練習を重ねることで、同様の問題を効率よく解く力を身につけることができます。
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