数IIの問題では、絶対値を含む不等式の証明が出題されることがあります。この記事では、|a| – |b| ≦ |a – b| と |a| – |b| ≦ |a + b| の証明方法を詳しく解説します。これらの不等式がどのように証明されるのか、また等号が成立する条件についても解説します。
|a| – |b| ≦ |a – b| の証明
まずは、|a| – |b| ≦ |a – b| の不等式の証明を見ていきましょう。この不等式は、三角不等式を用いて証明することができます。三角不等式とは、絶対値を使って2つの数の差を表す際に成立する不等式です。
証明のために、a, b の符号によって場合分けを行います。具体的には、a と b がどのような符号を持つかに応じて不等式の成立を確認します。
場合分けによる証明
a と b の符号による場合分けを行います。例えば、a, b が共に正の数である場合、|a| = a、|b| = b となり、|a| – |b| = a – b という形になります。これに対して、|a – b| の計算は、a – b が正または負であっても、その絶対値を取ることで成立します。この場合、|a| – |b| ≦ |a – b| は常に成立します。
逆に、a と b が異符号の場合や、どちらか一方がゼロの場合についても同様に証明できます。
|a| – |b| ≦ |a + b| の証明
次に、|a| – |b| ≦ |a + b| の証明です。この不等式も三角不等式を用いて証明できます。具体的には、|a + b| の絶対値の取り方と、|a| – |b| の関係を明確にします。
a と b の符号に応じて、まずは各項の絶対値を計算し、次にそれらが不等式として成立することを確認します。特に、a と b の符号が異なる場合や、どちらか一方がゼロの場合の取り扱いが重要です。
等号が成立する条件
不等式における等号が成立する条件も重要なポイントです。|a| – |b| ≦ |a – b| の場合、a と b が等しいか、a と b が互いに符号が反対であるときに等号が成立します。
|a| – |b| ≦ |a + b| の場合は、a と b が互いに符号が反対または一方がゼロのときに等号が成立することを確認できます。
まとめ
この記事では、|a| – |b| ≦ |a – b| と |a| – |b| ≦ |a + b| の不等式の証明方法について解説しました。不等式の証明には場合分けと三角不等式を活用することが重要です。また、等号が成立する条件についても理解することで、問題をより深く理解できるようになります。
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