この質問は、スキームの射が局所有限型であることの証明についての疑問です。特に、有限生成B代数のスペクトラムであることと、principal open subsetをうまく扱う方法について解説します。また、同義の言い換えに関する疑問にも触れます。
1. 局所有限型射の定義
スキームの射f:X→Yが局所有限型であるとは、Yの開被覆V_i=Spec(B_i)が与えられたとき、f^-1(V_i)が有限生成B_i代数のスペクトラムであり、その開部分集合がSpec(A_ij)で覆われることを意味します。これは、fが各開集合の交差部分に対して局所的に有限生成な代数に関連することを示しています。
2. 質問における「開部分集合の扱い」
質問の中で言及されているように、f^-1(V)が開部分集合として表せるような環境では、principal open subsetをうまく選ぶことが必要です。これにより、有限生成B代数との対応をつけて、スペクトラムとしての構造をうまく定義できます。
具体的には、f^-1(V)がB代数のスペクトラムとなるように、各開部分集合を制約し、そこから必要なセクションを持ち上げることが可能となります。これによって、fの局所有限型という特性が明確に理解できます。
3. gluing可能なものとその理解
質問者が言及したように、H^0とH^1の解釈には、gluing可能なものがどのように扱われるかが重要です。具体的には、gluing可能なセクションを集めたものとしてH^0が、さらに持ち上げられるものとしてH^1が解釈されます。
特に、Yの開部分集合V=Spec(B)に関するH^1の解釈では、f^-1(V)が開部分集合としてどのように構成されるかが重要です。そのため、principal open subsetを選び、有限生成B代数の関連をつけることが鍵となります。
4. 同義の言い換えとその意味
質問者が言及した「fから誘導される環準同型B→Aが有限型である」という言い換えは、局所有限型射の理解を簡潔に示しています。この表現は、fが引き起こす環準同型がどのように構成され、どうしてその構造が重要であるかを理解するための手助けとなります。
具体的に、Xの各点xに対応する開アフィン近傍U=Spec(A)と、f(U)を含むYの開部分集合V=Spec(B)との関係を見たとき、fが誘導する環準同型が有限型であることが局所有限型射の特徴となります。
5. まとめ
スキームの射f:X→Yが局所有限型であることの証明と、その解釈に関する疑問について、principal open subsetの選び方や、有限生成B代数との関連を理解することが鍵となります。また、同義の言い換えについても、fが引き起こす環準同型が有限型であることを意識することが重要です。これらの概念をうまく結びつけて理解することで、局所有限型射の性質を深く掘り下げることができます。
コメント