cos2A + cos2B + cos2C の値の範囲を求める方法

この問題は、三角関数の性質を利用して解く問題です。与えられた条件から、cos2A + cos2B + cos2C のとりうる値の範囲を求める方法を解説します。まずは問題文を理解し、順を追って解法を見ていきましょう。

1. 問題文の確認

与えられた条件は次の通りです。

• 0 < A < π/2
• 0 < B < π/2
• 0 < C < π/2
• A + B + C = π

この条件に基づいて、cos2A + cos2B + cos2C の範囲を求める必要があります。三角関数を扱う上で、まずは各角度の範囲を意識することが重要です。

2. cos2A + cos2B + cos2C の性質

問題に登場するcos2A、cos2B、cos2Cは、それぞれの角度A, B, Cに対応する二重角の余弦関数です。二重角の余弦関数は次のように表されます。

cos(2θ) = 2cos²(θ) – 1

この式を利用すると、cos2A、cos2B、cos2Cはそれぞれ、2cos²(A) – 1、2cos²(B) – 1、2cos²(C) – 1として表せます。

3. A + B + C = π の影響

A + B + C = πという条件は、各角度がπ未満であることを示しており、これにより各角度の範囲が決まります。これをもとに、cos2A + cos2B + cos2Cの値がどのように変動するかを考えることができます。

例えば、A = B = C = π/3 の場合、cos2A + cos2B + cos2C は最大になります。一方、A = B = π/4, C = π/2 の場合など、異なる組み合わせによっても値が異なることが分かります。

4. 数値計算と最小値・最大値の確認

実際に具体的な値を計算し、cos2A + cos2B + cos2C がとりうる最大値と最小値を求めます。これには、適切な角度の選び方が重要です。A、B、Cの組み合わせによって、cos2A + cos2B + cos2C の最小値と最大値を見つけることができます。

まとめ

cos2A + cos2B + cos2C の範囲を求めるためには、与えられた条件をもとに三角関数の性質を適切に使いこなすことが求められます。問題に対する理解を深め、計算を進めることで、この種の問題を解く力が身につきます。具体的な計算と最小値・最大値の確認が重要です。