整式x²⁰¹⁴をx⁴+x³+x²+x+1で割った余りを求める方法の解説

この問題では、x²⁰¹⁴をx⁴+x³+x²+x+1で割ったときの余りを求める方法について考えます。まず、余りの求め方として恒等式を使ったアプローチを紹介し、次にその係数を比較して解を導く方法を説明します。

恒等式の設定と商・余りの定義

問題の式は、x²⁰¹⁴をx⁴+x³+x²+x+1で割った際の商をQ(x)、余りをax³+bx²+cx+dとし、以下の恒等式で表されます。

x²⁰¹⁴ = Q(x)(x⁴+x³+x²+x+1) + ax³+bx²+cx+d・・・(①)

ここで、x⁴+x³+x²+x+1 = 0を満たす解をαとし、α²⁰¹⁴について考えます。

式(①)をx = αに代入すると、x⁴+x³+x²+x+1 = 0から以下の式が得られます。

α²⁰¹⁴ = aα³ + bα² + cα + d・・・(②)

そして、x⁴+x³+x²+x+1 = 0の解を使って、α²⁰¹⁴ = -α³ – α² – α – 1とすることができます。

次に、式(②)の左辺と右辺を比較することで、係数を求めます。

式(②)の左辺はα²⁰¹⁴で、右辺は-α³ – α² – α – 1です。これを比較すると、係数a, b, c, dが求まります。

よって、a = -1, b = -1, c = -1, d = -1となります。

ここで重要なのは、恒等式(①)にx = αを代入することが許される理由です。恒等式にx = αを代入することで、xの任意の解に対する方程式が成り立つことが保証されます。これにより、αを使って係数を比較して解を導くことが可能となります。

x²⁰¹⁴をx⁴+x³+x²+x+1で割った際の余りは、商Q(x)とともにax³+bx²+cx+dの形で表されます。係数を比較することで、a = -1, b = -1, c = -1, d = -1と求まります。恒等式を利用することで、x = αの代入が可能であり、この手法で余りの計算ができます。