この数IIの問題では、複素数を使った式を整理する方法について学びます。具体的には、式(2 + i)³ – 3(2 + i)² + a(2 + i) + b = 0を整理すると、最終的に(2a + b – 7) + (a – 1)i = 0という形になります。これを解くためのステップを詳しく見ていきましょう。
複素数の乗法の基本
まず、複素数の乗法を使います。複素数 (2 + i) を含む項を展開する必要があります。複素数の乗法の基本ルールは、(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i です。このルールを使って、(2 + i)³や(2 + i)²を展開します。
(2 + i)²の展開
まずは (2 + i)² を計算します。
(2 + i)² = (2 + i)(2 + i) = 2² + 2(2)(i) + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
これが (2 + i)² の結果です。
(2 + i)³の展開
次に (2 + i)³ を展開します。まずは (2 + i)² を使って計算します。
(2 + i)³ = (2 + i)(3 + 4i) = 2(3 + 4i) + i(3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i² = 6 + 11i – 4 = 2 + 11i
これが (2 + i)³ の展開結果です。
式の整理
元の式を整理するために、得られた展開結果を代入します。元の式は次のようになります。
(2 + i)³ – 3(2 + i)² + a(2 + i) + b = 0
これに展開した値を代入すると。
(2 + 11i) – 3(3 + 4i) + a(2 + i) + b = 0
計算を続けると。
2 + 11i – 9 – 12i + 2a + ai + b = 0
これを整理すると。
(2a + b – 7) + (a – 1)i = 0
結論
したがって、元の式が (2a + b – 7) + (a – 1)i = 0 となります。この式では実数部分と虚数部分がそれぞれ0になる必要があるため、実数部分と虚数部分についてそれぞれ方程式を立てて解くことができます。
まとめ
複素数を使った計算では、乗法や加法を行い、実数部分と虚数部分を分けて整理することが重要です。この問題では、(2 + i)³と(2 + i)²を展開し、それらを代入して最終的な形に整理しました。複素数の計算方法をしっかり理解すれば、このような問題もスムーズに解けるようになります。
コメント