関数の不定積分の計算方法：2^(1 - x/x) / x^2 の解法

数学の不定積分において、関数の積分は重要なスキルです。この記事では、関数 2^(1 – x/x) / x^2 の不定積分を解く方法を具体的に説明します。特に指数関数と分数の組み合わせにおける積分のテクニックを学ぶことができます。

不定積分の基本概念

不定積分は、関数の元の式（積分前の式）を求める過程です。具体的には、与えられた関数の積分を計算することで、その関数を微分した結果が元の関数であるような式を求めます。積分の計算は、関数の構造を理解し、適切な方法を選択することが重要です。

積分の計算にはいくつかの基本的なテクニックがあり、特に指数関数や分数式を含む関数の積分は、変数の置き換えや部分積分を使うことで解けることが多いです。

まず、与えられた関数 2^(1 – x/x) / x^2 をよく見てみましょう。式は 2^(1 – x/x) / x^2 です。ここで、x/x の部分は 1 となるため、関数は実際には 2^0 / x^2 に簡略化できます。

2^0 は常に 1 なので、最終的な関数は 1 / x^2 という単純な分数式になります。したがって、この積分は単純な 1 / x^2 の積分を計算する問題です。

1 / x^2 の積分は、基本的な積分の一つです。この形の積分は次のように計算できます。

∫ 1 / x^2 dx = ∫ x^(-2) dx

積分を行う際、指数法則に基づいて積分を計算します。x^n の積分は (x^(n+1)) / (n+1) の形で計算できます。ここで n = -2 の場合、積分は次のようになります。

∫ x^(-2) dx = -x^(-1) = -1 / x

したがって、関数 2^(1 – x/x) / x^2 の不定積分の最終結果は。

∫ 2^(1 – x/x) / x^2 dx = -1 / x + C

ここで C は積分定数です。積分定数 C は不定積分において常に加えられる項であり、元の関数が無限に多く存在するため、この定数を加えることで解が完全になります。

関数 2^(1 – x/x) / x^2 の不定積分は、最初に式を簡略化し、最終的には基本的な 1 / x^2 の積分を計算することで求めることができます。積分結果は -1 / x + C です。このように、複雑に見える式も細かく分解していくことで、簡単な積分問題として解くことができます。