今回は、関数f(x,y)=x^y × y^xが点(1,1)で全微分可能であることを示す問題について解説します。この問題では、関数が点(1,1)で全微分可能であるかどうかを確認するために、偏微分を計算し、連続性と微分可能性を確認します。
1. 関数の定義と全微分可能性の条件
関数f(x,y)=x^y × y^xは、xとyの関数です。全微分可能性を示すためには、次の条件を満たす必要があります。
- 偏微分が存在する。
- 偏微分が連続である。
これらを順に確認していきます。
2. 偏微分の計算
関数f(x,y)=x^y × y^xをxとyについてそれぞれ偏微分します。まず、xについて偏微分を行います。
f(x,y) = x^y × y^x の x に関する偏微分は、積の微分法則を使って計算します。
∂f/∂x = y * x^(y-1) * y^x + x^y * ln(y) * y^x
次に、yについて偏微分を計算します。
∂f/∂y = x^y * ln(x) * y^x + x^y * x^y * ln(y)
3. 点(1,1)での偏微分
点(1,1)での偏微分を計算するために、x=1、y=1を代入します。まず、∂f/∂xを求めます。
∂f/∂x (x=1, y=1) = 1 * 1^(1-1) * 1^1 + 1^1 * ln(1) * 1^1 = 1 + 0 = 1
次に、∂f/∂yを求めます。
∂f/∂y (x=1, y=1) = 1^1 * ln(1) * 1^1 + 1^1 * 1^1 * ln(1) = 0 + 0 = 0
4. 連続性と微分可能性の確認
偏微分が存在したので、次に連続性を確認します。点(1,1)における偏微分はそれぞれ連続であり、また、f(x,y)は連続であるため、f(x,y)は点(1,1)で全微分可能です。
5. まとめ
結論として、関数f(x,y)=x^y × y^xは点(1,1)で全微分可能であることが確認できました。偏微分の計算を行い、連続性と微分可能性の条件を満たしていることがわかりました。
コメント