2のx乗+2の−x乗＝3の解き方とtの代入法

今回は、「2のx乗+2の−x乗＝3」という方程式を解く問題です。ここでは、方程式をtを使って簡単に解く方法を解説します。解法のステップに沿って、tを使って方程式をどのように変形するのか、そしてtに対する解を求める方法を紹介します。

1. 方程式の変形とtの代入

まず、方程式「2のx乗+2の−x乗＝3」を解くために、2のx乗＝tとおきます。この仮定により、2の−x乗はtの−1乗と表すことができます。したがって、方程式は以下のように変形されます。

t + 1/t = 3

次に、この方程式をtに関する二次方程式に変形します。t + 1/t = 3を両辺tで掛け算すると、以下の式が得られます。

t² + 1 = 3t

これを整理すると、t² – 3t + 1 = 0となります。この式はtに関する二次方程式です。

次に、この二次方程式t² – 3t + 1 = 0を解くために、解の公式を使います。解の公式は、ax² + bx + c = 0の形の二次方程式において、xの解を求める式です。

解の公式は次の通りです。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

今回の方程式ではa = 1, b = -3, c = 1ですので、解の公式に代入して解を求めます。

解の公式を用いると、tの解は以下のように求められます。

t = (3 ± √(9 – 4)) / 2

t = (3 ± √5) / 2

これでtの2つの解が求まりました。それぞれの解について、xを求めることができます。

次に、tの解を用いてxの解を求めます。t = 2^xという形に戻して、xを求めます。tの2つの解に対して、それぞれ対応するxの値が求められます。

したがって、この方程式には2つの実数解が存在することが確認できます。

「2のx乗+2の−x乗＝3」の方程式は、tを使って二次方程式に変形し、その解を求める方法で解けます。解の公式を使うことで、tの値が求まり、それをもとにxの解も導き出せます。このように、数学の問題では変数をうまく置き換えて式を簡単にすることが重要です。