コーシーの積分公式を使った積分問題の解法：∫c z³/(z²+1) dz の計算方法

この問題ではコーシーの積分公式を使用して、複素積分を解く方法について説明します。積分の問題は、積分路や関数の性質に注意を払う必要があるため、ステップバイステップで解法を示します。

1. 問題の設定

与えられた積分は次のように表されます。

∫_c z³ / (z² + 1) dz (c: |z| = 2)

ここで、積分路 c は|z|=2の円周です。この積分を解くためには、コーシーの積分公式を適用します。

コーシーの積分公式は、次のように表されます。

∫_c f(z) dz = 2πi Σ Res(f, z_k)

ここで、Res(f, z_k) はf(z)のz_kにおける留数です。問題の関数は f(z) = z³ / (z² + 1) であり、分母の z² + 1 の零点は z = i と z = -i です。これらが積分路 c 内に含まれているので、留数定理を使って解くことができます。

まず、関数 f(z) = z³ / (z² + 1) の z = i と z = -i における留数を計算します。

留数は次のように求められます。

Res(f, i) = lim_{z → i} (z – i) f(z) = lim_{z → i} (z – i) z³ / (z² + 1) = lim_{z → i} z³ / (z + i)

z = i のとき、z³ = i³ = -i と z + i = 2i なので、Res(f, i) = (-i) / (2i) = -1/2 です。

同様に、z = -i のとき。

Res(f, -i) = lim_{z → -i} (z + i) f(z) = lim_{z → -i} (z + i) z³ / (z² + 1) = lim_{z → -i} z³ / (z – i)

z = -i のとき、z³ = (-i)³ = i と z – i = -2i なので、Res(f, -i) = i / (-2i) = -1/2 です。

コーシーの積分公式を適用すると、積分の値は次のように計算できます。

∫_c z³ / (z² + 1) dz = 2πi (Res(f, i) + Res(f, -i)) = 2πi (-1/2 + -1/2) = -2πi

このように、コーシーの積分公式を使うことで、複雑な積分も簡単に計算することができます。積分路が円周であり、留数を計算することで積分の値を得ることができます。問題の解法は、まず関数の特異点を特定し、それに対応する留数を求めることから始めます。