二変数関数の最小値の求め方：kについて整理する方法

二変数関数の最小値を求める際の問題で、異なる方法でアプローチした場合に答えが合わないことがあります。今回は与式をkについて整理して解く方法と、yについて整理する方法の違いについて解説します。

1. 与式の整理方法について

問題の式は (1-k)^2 + (y-2+k)^2 + (-3+k)^2 です。この式をまず y について整理すると、次のような式になります。

(y-2+k)^2 + 2(k-2)^2 + 2 という形になり、最小値は 2 だと分かります。ここまでの手順はわかりやすく、一般的な方法です。

2. k について整理する方法

しかし、k について整理する方法を選んだ場合、最小値がうまく求められないという問題が発生します。ネットで調べると、最高次数の係数が 1 の項から整理する方が良いというアドバイスがあります。これは式をより簡単に処理できるからです。

ここではまず k について整理してみる方法を試みますが、その結果としてうまく最小値が出ない理由についても考察します。

3. 最高次数の係数から整理する理由

最小値を求める際には、一般的に式を最高次数の項（この場合は k の2乗）から整理することで、より簡単に最小値を求めることができます。これを行う理由は、より効率的に解を求めるためであり、k の項を先に整理することで式がシンプルになります。

実際に k から整理してみると、最小値の求め方が変わってくるため、y について整理したときとは異なるアプローチになります。これは、k の値を最適化する過程において重要なポイントです。

4. 最小値を求めるための最適な方法

最終的に最小値を求めるためには、式を整理する順序に気をつける必要があります。一般的には、最高次数の項から解く方法が効率的ですが、問題の設定や式の内容によって異なるアプローチを取ることもあります。

この場合、y について整理した後の式が最小値を求めるのに適していることがわかりました。したがって、問題によっては順序を変えて解く必要があることも理解しておきましょう。

まとめ

二変数関数の最小値を求める際には、整理する順序が解法に影響を与えることがあります。最高次数の項から整理する方法が一般的ですが、場合によっては異なるアプローチが必要です。この問題では、y について整理した方法が最も適していることがわかりました。理解を深めるためには、複数の解法を試してみることが重要です。