数学の問題で「x² + y²」の値を求める際、異なる計算方法を使用する場合があります。特に、(x + y)² − 2xyという式の変形を使う問題で、なぜ計算方法が異なるのか疑問に思うことがあります。この記事では、2つの異なる問題に対して、どのように計算方法が変わるのかを説明します。
①の問題：x + y = 8, xy = 12 のとき、x² + y² を求める
まず、問題①を見てみましょう。x + y = 8 と xy = 12 が与えられています。このような場合、x² + y² の計算を簡単にするために、(x + y)² − 2xy という形を使います。
(x + y)² の展開は以下のようになります。
(x + y)² = x² + 2xy + y²
したがって、x² + y² を求めるためには、(x + y)² から 2xy を引くことになります。具体的に計算すると。
(x + y)² − 2xy = x² + 2xy + y² − 2xy = x² + y²
ここで、x + y = 8 と xy = 12 なので。
(8)² − 2(12) = 64 − 24 = 40
したがって、x² + y² の値は 40 になります。
②の問題：x − y = 7 のとき、x² − 2xy + y² − 2x + 2y − 8 の値を求める
次に、問題②を見てみましょう。x − y = 7 のとき、x² − 2xy + y² − 2x + 2y − 8 の値を求める問題です。
この式では、x² − 2xy + y² を使うことができますが、問題①と異なり、式の中に 2x と 2y が含まれているため、直接的に (x + y)² − 2xy の形を適用することはできません。
ここで重要なのは、x − y = 7 の情報を使って式を整理することです。まず、x² − 2xy + y² を計算すると、これが (x − y)² に等しいことがわかります。
(x − y)² = x² − 2xy + y²
したがって、この部分を (x − y)² に置き換えると、式は次のようになります。
(x − y)² − 2x + 2y − 8
ここで、x − y = 7 なので。
(7)² − 2x + 2y − 8 = 49 − 2x + 2y − 8
なぜ (x + y)² − 2xy を使わないのか？
問題①では、x + y = 8 と xy = 12 が与えられており、(x + y)² − 2xy を使うことで、x² + y² を簡単に計算できました。一方、問題②では、x − y = 7 が与えられており、(x − y)² の形を使う必要がありました。
このように、問題の与えられた条件に応じて、式の変形方法を選ぶ必要があります。問題①では x + y の情報が、問題②では x − y の情報が重要になるため、それぞれの状況に応じて異なる計算方法を使っています。
まとめ：計算の変形方法を使い分ける
数学の問題では、与えられた情報に基づいて計算方法を適切に選択することが重要です。問題①では (x + y)² − 2xy を使い、問題②では (x − y)² を使うことで、それぞれの式を簡単に計算することができます。今後も、こうした計算方法を使い分けることで、問題を効率的に解くことができるようになります。
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