複素数の式を整理する問題は、複素数の演算に慣れるための重要なステップです。特に、(1+2i)³ + a(1+2i)² + b(1+2i) + 10 = 0 の形を簡単にする方法を理解すると、複雑な式も容易に扱えるようになります。この記事では、この問題をどのように整理するかをステップごとに解説します。
式の展開：複素数のべき乗
まず、式の中に含まれる複素数 (1+2i) をべき乗して展開します。最初のステップは、(1+2i)³ を計算することです。ここで、(1+2i)³ は次のように展開できます。
(1+2i)³ = (1+2i)(1+2i)(1+2i)
まず、(1+2i)(1+2i)を計算します。これにより、次のような計算が得られます。
(1+2i)(1+2i) = 1² + 2×1×2i + (2i)² = 1 + 4i – 4 = -3 + 4i
次に、(-3 + 4i)と(1 + 2i)を掛け合わせます。
(-3 + 4i)(1 + 2i) = -3(1 + 2i) + 4i(1 + 2i) = -3 – 6i + 4i – 8 = -11 – 2i
したがって、(1+2i)³ = -11 – 2i です。
次に (1+2i)² を計算
次に、(1+2i)² を計算します。この計算も類似の方法で展開できます。
(1+2i)² = 1² + 2×1×2i + (2i)² = 1 + 4i – 4 = -3 + 4i
したがって、(1+2i)² = -3 + 4i です。
式の整理：a(1+2i)² と b(1+2i) の計算
次に、a(1+2i)² と b(1+2i) をそれぞれ計算します。これらの部分を展開すると。
a(1+2i)² = a(-3 + 4i) = -3a + 4ai
b(1+2i) = b(1 + 2i) = b + 2bi
最終的な整理
これらを元の式に戻すと、次のように整理されます。
(1+2i)³ + a(1+2i)² + b(1+2i) + 10 = -11 – 2i + (-3a + 4ai) + (b + 2bi) + 10
これをさらに整理すると。
-11 + 10 + (-3a + b) + (-2 + 4a + 2b)i = 0
実部と虚部がそれぞれ0になる必要があるため、実部と虚部を分けて式を立てます。
実部：-1 – 3a + b = 0
虚部：-2 + 4a + 2b = 0
まとめ：整理した式とその結果
最終的に、問題の式は以下の2つの連立方程式になります。
-3a + b = 1
4a + 2b = 2
この連立方程式を解くことで、a と b の値を求めることができます。計算を進めることで、a と b の具体的な値を導くことができますが、ここではその解法を省略します。
コメント