対角化可能な行列に関する問題を考えてみましょう。n次正方行列Aにおいて、ランクがrである場合、P^(-1)APの対角成分に関する重要な性質があります。具体的には、P^(-1)APの対角成分のうち、少なくともn-r個が0であるという点について考えます。この性質は行列のランクとその固有値の関係に基づいています。
行列のランクと固有値の関係
行列Aのランクrは、行列Aが持つ線形独立な行の数、または列の数に対応します。行列が対角化可能であるということは、Aが固有値を持ち、P^(-1)APという形で対角行列に変換できることを意味します。このとき、対角行列の対角成分はAの固有値に対応します。
行列のランクrは、行列が持つ非ゼロの固有値の個数と関連しています。具体的には、行列のランクがrの場合、Aにはr個の非ゼロの固有値が存在します。
対角行列の対角成分とランク
対角化可能な行列AがP^(-1)APという形に変換されると、P^(-1)APは対角行列になります。対角行列の対角成分は、元の行列Aの固有値に対応します。ランクrの行列では、r個の固有値は非ゼロであり、残りの固有値はゼロです。
したがって、P^(-1)APの対角成分のうち、r個は非ゼロの固有値に対応し、残りのn-r個はゼロに対応します。このため、P^(-1)APの対角成分のうち、少なくともn-r個がゼロであるという結果が得られます。
なぜ対角成分にゼロが現れるのか
行列のランクrは、その行列が持つ非ゼロの固有値の個数を示します。対角化の過程では、行列の固有値が対角行列の対角成分として現れるため、ランクがrの行列では、r個の対角成分が非ゼロになります。
ランクrの行列には、n-r個のゼロの固有値が含まれるため、対角行列に変換した際には、n-r個の対角成分がゼロになるのです。
まとめ
対角化可能なn次正方行列Aにおいて、ランクrが成り立つとき、P^(-1)APの対角成分のうち、少なくともn-r個がゼロになる理由は、行列のランクrがその固有値の個数を示し、対角化後の行列においては、r個の非ゼロの固有値が対角成分として現れるためです。これにより、ランクがrである場合、残りのn-r個の対角成分がゼロになることが確認できます。
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