座標平面上の点 P が最小距離を持つ位置を求める問題の解説

座標平面上に与えられた点 A(1,1) と B(2,1/2) に関する問題です。問題は、点 P が円 x^2 + y^2 = 1 の周上を動くとき、△ABP の重心までの距離が最小となる点 P の座標を求めるというものです。この問題を解くためには、まず基本的な数学的な考え方と手順を理解することが重要です。

問題の理解とアプローチ

この問題は、座標平面上の円と与えられた点を使って、最小の距離を求める問題です。点 P は円 x^2 + y^2 = 1 の周上を動きます。まず、円の方程式が表すのは半径1の円であり、その中心は原点(0,0)です。

重心の座標と距離の最小化

次に、△ABP の重心を求めます。重心の座標は、点 A, B, P の座標を使って計算できます。重心の座標 G は次のように求められます。

G_x = (x_A + x_B + x_P) / 3, G_y = (y_A + y_B + y_P) / 3

最小距離の計算

最小距離を求めるためには、点 P から重心までの距離を最小化する必要があります。距離は、ユークリッド距離の公式を使って求めることができます。距離 d は次のように表されます。

d = √((G_x – x_P)^2 + (G_y – y_P)^2)

結論

この問題を解くためには、重心の座標を求めた後、その座標と点 P の座標との距離が最小となるような位置を探します。このような計算を行うことで、最小距離を求めることができます。