y = (1 + sinx)cosx の微分について：0≦x≦2πで微分できない理由

関数y = (1 + sinx)cosx（0≦x≦2π）の微分が0でできないのかについての疑問を解決します。この質問は、微分可能性についての理解を深めるために重要です。今回は、その理由を詳細に解説します。

関数の微分とは？

微分とは、関数の変化の割合を求める操作です。関数が微分可能であるとは、任意の点で接線の傾きを求めることができることを意味します。微分可能でない点がある場合、その点では関数が滑らかに変化せず、不連続な変化を示すことになります。

y = (1 + sinx)cosx の微分を考える前に、まずこの関数がどのように振る舞うのかを理解することが重要です。

y = (1 + sinx)cosx を微分するために、積の微分法則を使います。積の微分法則とは、二つの関数が掛け合わさった形の微分で、次のように計算します。

d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

ここで、f(x) = (1 + sinx)、g(x) = cosx です。これを使って微分すると、以下のようになります。

dy/dx = (cosx)(cosx) + (1 + sinx)(-sinx)

計算を続けると、dy/dx = cos²x – (1 + sinx)sinx となります。

では、なぜx = 0のときに微分ができないのか？それは、x = 0においてsinxの挙動に関わるからです。具体的に計算式を見てみると、x = 0で計算した場合、sinxが0であるため、(1 + sinx)sinx の部分で不連続な変化が発生します。

微分を適用した結果として、0での微分は連続しないため、その点で微分できないことがわかります。これは、関数が滑らかに変化しないため、接線の傾きを求めることができないことを意味します。

y = (1 + sinx)cosx のような関数で、x = 0で微分できない理由は、その点で関数が連続的に変化しないためです。このように、微分可能性は関数の連続性に依存し、特定の点で微分ができない場合もあります。数学的な理解を深めることで、より複雑な問題にも対応できるようになります。