二次関数のグラフがx軸と接する条件を求める問題は、数学の中でも特に重要なテーマです。この問題では、定数kの値を求めることが求められています。この記事では、グラフがx軸と接する条件をどのように求めるのかを、具体的な例を用いて解説していきます。
二次関数の一般的な形と接する条件
まず、二次関数の一般的な形は以下のように表されます。
y = ax² + bx + c（a, b, c は定数）。この形の二次関数のグラフは放物線になります。二次関数がx軸と接するとは、放物線がx軸とただ一度だけ交差することを意味します。
接する条件：判別式を使ってみよう
二次関数のグラフがx軸と接する条件は、判別式（ディスクリミナント）を使って求めます。判別式は、二次方程式の解の性質を決定する重要なツールです。
二次方程式の解の判別式は次のように表されます。
Δ = b² – 4ac
ここで、Δ（デルタ）は判別式、a、b、cはそれぞれ二次関数の係数です。グラフがx軸と接するためには、判別式Δがゼロである必要があります。つまり、Δ = 0 のとき、放物線はx軸と1点で接します。
問題に適用してみる
問題に与えられた二次関数は次の通りです。
y = 2x² + kx + (k – 2)
この式を判別式に当てはめると、a = 2, b = k, c = k – 2 となります。判別式Δは次のように計算できます。
Δ = k² – 4(2)(k – 2)
これを計算すると、Δ = k² – 8k + 16 となります。
Δ = 0 を解いてkの値を求める
次に、Δ = 0 の条件を使ってkの値を求めます。
k² – 8k + 16 = 0
この式を解くと、k = 4 という解が得られます。したがって、kの値は4です。
x軸との接点のx座標を求める
次に、k = 4 の場合における接点のx座標を求めます。元の二次関数にk = 4を代入すると、次のような式になります。
y = 2x² + 4x + (4 – 2) = 2x² + 4x + 2
この式を用いて、x軸との接点を求めるためには、y = 0 のときのx座標を求めます。すなわち、次の二次方程式を解きます。
2x² + 4x + 2 = 0
この式を解くと、x = -1 という解が得られます。
まとめ
今回の問題を通して、二次関数のグラフがx軸と接する条件を判別式を使って求める方法を学びました。判別式がゼロとなるようにkの値を求め、実際に接点のx座標を計算することで問題を解くことができました。
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