数学IIの三角関数に関する問題でよく出題されるのが、複雑な角度の式を解く問題です。今回は、sin(θ＋π/4) = -1/2 という式を解く方法について、具体的なステップを解説します。この問題を解くためのポイントやコツを一緒に学びましょう。
問題の確認と式の変形
まず、与えられた式 sin(θ＋π/4) = -1/2 を見てみましょう。この式の解法には、三角関数の加法定理を利用します。加法定理は、sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) という形で表されます。
これを使って、式を以下のように変形します。
sin(θ＋π/4) = sin(θ)cos(π/4) + cos(θ)sin(π/4)
加法定理の適用と値の計算
π/4 の角度における sin(π/4) と cos(π/4) の値は、どちらも 1/√2 です。このため、式は次のように簡略化されます。
sin(θ) * 1/√2 + cos(θ) * 1/√2 = -1/2
式の整理と解の導出
ここで、1/√2 を共通因子として取り出し、式を以下のように整理します。
(sin(θ) + cos(θ)) / √2 = -1/2
両辺に √2 を掛けて、式をさらに整理します。
sin(θ) + cos(θ) = -√2 / 2
sin(θ) + cos(θ) の解法
sin(θ) + cos(θ) の形に注目すると、この式を解くには、合成関数を利用する方法が有効です。sin(θ) + cos(θ) を sin(θ + π/4) の形に変形できるため、次のステップに進みます。
具体的には、sin(θ + π/4) = -1/2 という式の解を求めるため、θ + π/4 = 7π/6 または θ + π/4 = 11π/6 の解を求めます。これにより、θ の解が導かれます。
最終的な解の導出
上記の式から、θ = 7π/6 – π/4 または θ = 11π/6 – π/4 となります。計算を進めると、最終的な解は次のように求められます。
θ = 5π/12 または θ = 17π/12 です。
まとめ
sin(θ + π/4) = -1/2 の問題は、加法定理を活用し、式を変形して解を求めることができました。三角関数の式を解くためには、基本的な公式や定理を使いこなすことが重要です。今回の解法を参考に、他の類似の問題にも挑戦してみましょう。
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