(x + 4)の50乗の展開において、xの何乗の係数が最大になるかという問題は、数学における二項定理を活用して解くことができます。この記事では、二項定理を使ったこの問題の解法について詳しく解説します。
二項定理の基本と展開の考え方
まず、二項定理を簡単に復習しておきましょう。二項定理によると、(a + b)^n の展開は次のように表されます。
(a + b)^n = Σ (nCk) * a^(n-k) * b^k
ここで、nCkは組み合わせの数（n個の中からk個を選ぶ場合の数）を意味します。今回の問題では、a = x、b = 4、n = 50 となります。
したがって、(x + 4)^50 の展開は、各項が次のように表されます。
(x + 4)^50 = Σ (50Ck) * x^(50-k) * 4^k
ここで、各項におけるxの指数は(50 – k)であり、xの何乗の係数が最大になるかを求めることが目的です。
最大の係数が現れるxの指数を求める
展開の各項の係数は (50Ck) * 4^k です。xの指数が50 – k であるため、この係数の中で最も大きい値を持つkを求める必要があります。
次に、kの値に関して、隣接する項の比率がどのようになるかを調べることで、最大の係数が現れるxの指数を求めることができます。具体的には、隣接する係数を比べてその比が1に近いkの値を見つけます。
隣接項の係数の比率の計算
展開の隣接項の係数の比は次のように表されます。
r(k) = (50C(k+1) * 4^(k+1)) / (50Ck * 4^k) = (50-k) / (k+1) * 4
この比が1になる時に、係数が最大となります。比が1になるようなkを求めると、k ≈ 25のとき、xの指数が最大になることがわかります。
最終的な答え
したがって、(x + 4)^50 の展開において、xの何乗の係数が最大かを求めると、その指数は x の25乗の係数が最大となることがわかります。このとき、x^(50-k) が最大となるため、k = 25のときに最大の係数が現れることになります。
まとめ
数学的に見ると、(x + 4)^50 の展開において、xの25乗の係数が最も大きくなることがわかります。この問題は、二項定理の展開と隣接項の係数の比率を利用して解くことができ、確率や数式の理解を深めるために非常に有益な問題です。
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