放物線y=x²+2ax+4の頂点が直線y=2x+1上にあるときのaの値

放物線y=x²+2ax+4の頂点が直線y=2x+1上にあるとき、aの値を求める方法を解説します。放物線の頂点の座標を求め、その座標が直線上にあるという条件からaの値を導きます。

放物線の頂点を求める

放物線y=x²+2ax+4の頂点のx座標は、一般的な放物線の形y=ax²+bx+cにおいて、x=-b/2aで求められます。ここでは、b=2a、a=1なので、頂点のx座標はx=-aとなります。

頂点のx座標x=-aを放物線の式y=x²+2ax+4に代入すると、頂点のy座標y_vertexが得られます。これにより、y_vertex = (-a)² + 2a(-a) + 4 = a² – 2a² + 4 = -a² + 4となります。

次に、頂点が直線y=2x+1上にあるという条件を使用します。直線の方程式に頂点のx座標x=-aを代入すると、直線上のy座標はy=2(-a)+1 = -2a+1です。この値が、放物線の頂点のy座標と等しくなる必要があります。

この条件から、放物線の頂点のy座標が直線上にあるため、-a²+4 = -2a+1という方程式が得られます。この方程式を解くと、a=-1またはa=3が得られます。

放物線y=x²+2ax+4の頂点が直線y=2x+1上にあるとき、aの値は-1または3であることがわかりました。このように、放物線の頂点と直線の交点を求めることで、aの値を特定することができます。