なぜnCrはnPrの式を用いてn!/(n-r)!からn!/r!(n-r)!になるのか？

「nCr」と「nPr」という表記は、組み合わせと順列を計算するために使われますが、これらの関係について理解することで、数式の使い方が分かりやすくなります。この記事では、なぜnCrはnPrを使って計算できるのかを解説します。

nPrとは何か？

まず「nPr」について理解しましょう。これは順列を求める式で、n個の中からr個を順番に並べる方法の数を示します。nPrは次のように定義されます。

nPr = n! / (n – r)!

次に「nCr」は組み合わせを求める式です。組み合わせは順番を考慮せず、n個の中からr個を選ぶ方法の数を示します。つまり、nCrは次のように表されます。

nCr = n! / (r! * (n – r)!)

まず、順列nPrは順番を考慮しているため、r個を選ぶ方法の数に加えて、それらr個を並べる方法も含まれています。一方、組み合わせnCrは順番を考慮しないため、r個の並び順を取り除く必要があります。したがって、順列nPrをr!で割ることで、順番を無視した組み合わせを得ることができます。

この式は次のように変形できます。

nCr = nPr / r! = (n! / (n – r)!) / r! = n! / (r! * (n – r)!)

例えば、5個の異なる物の中から3個を選ぶ場合を考えます。

nPr = 5P3 = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

次に、順番を無視した場合の組み合わせnCrを求めます。

nCr = 5C3 = 5P3 / 3! = 60 / 6 = 10

nCrとnPrは順列と組み合わせという異なる概念を表しており、nCrを計算するためにはnPrを用いて、その後にr!で割る必要があります。これにより、順番を考慮せずに物を選ぶ組み合わせの数を求めることができます。