｜x｜＞A の場合、A＜0 であるならば成立する理由について

数学の不等式に関する質問について、特に絶対値関数を含む不等式「｜x｜＞A」の場合に、A＜0 であるならば成り立つ理由について詳しく解説します。

絶対値関数の性質

絶対値関数｜x｜は、xの絶対値を返す関数です。絶対値とは、xが正の数であればそのまま、負の数であればその符号を取り除いた値を示します。たとえば、｜-3｜ = 3、｜5｜ = 5となります。この特性を理解することで、不等式の成り立ちを明確にすることができます。

不等式「｜x｜＞A」の場合、xはAよりも大きいか、小さいかの絶対値で表される値である必要があります。絶対値がAより大きいということは、xがAより大きいか、-Aより小さいことを意味します。つまり、xの値が一定の範囲にないと不等式は成り立たないことになります。

「A＜0」の場合、この不等式が成立する理由について考えます。Aが負の数の場合、絶対値は常に非負なので、｜x｜が負の数より大きいという不等式は必然的に成立します。例えば、Aが-2の場合、｜x｜＞-2という不等式は、すべての実数xに対して成立します。なぜなら、絶対値の結果は常に非負だからです。

不等式「｜x｜＞-2」を考えると、すべての実数xは絶対値が0以上なので、常に-2より大きくなります。したがって、この不等式は全ての実数に対して成立します。このように、Aが負の数であると、どんな実数xにも適用できる不等式となるため、成り立つのです。

不等式「｜x｜＞A」の場合に、A＜0であれば、すべての実数xに対してこの不等式が成立する理由は、絶対値が常に非負であるためです。したがって、Aが負の数であれば、｜x｜は必ずAより大きくなるため、必ず不等式が成立します。