この問題では、(1)と(2)は解けたが、(3)が難しいという質問に対して、詳しい解説を行います。特に、(3)の解法に焦点を当て、誘導の部分を理解するための手順を解説します。
(1) sinθ + cosθの増減を調べる
まず、(1)の問題に取り組みます。0 ≦ θ ≦ π/2 における sinθ + cosθ の増減を調べるためには、まずこの関数の微分を計算します。微分してみると、sinθ + cosθ の微分は cosθ – sinθ となります。
次に、この微分が0となる点を探します。cosθ – sinθ = 0 のとき、θ = π/4 であることが分かります。このことから、sinθ + cosθ は θ = π/4 を境に増加から減少に変わることが分かります。
(2) sinθ + cosθ = 7/5 のとき、sinθ – cosθ と tanθ を求める
次に、(2)の問題を解きます。sinθ + cosθ = 7/5 という条件が与えられています。ここで、sinθ + cosθ を使って sinθ と cosθ の値を求める方法を考えます。まず、(sinθ + cosθ)² を展開すると、sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ になります。
sin²θ + cos²θ = 1 であるため、この式は 1 + 2sinθcosθ となります。したがって、(7/5)² = 1 + 2sinθcosθ から sinθcosθ を求めることができます。次に、sinθ – cosθ を求める方法ですが、(sinθ + cosθ)² – (sinθ – cosθ)² = 4sinθcosθ を利用して求めます。
(3) x + y ≦ (7/5)√(x² + y²) の図形の面積を求める
最後に、(3)の問題です。x + y ≦ (7/5)√(x² + y²) の不等式が与えられています。この問題を解くためには、まずこの不等式を円の方程式に変換します。x + y の部分を平方し、右辺を同様に平方します。次に、この式を変形することで、xとyが満たすべき条件を導きます。
解の範囲が定まったら、その範囲内で面積を求めます。これには積分を使用して、xとyが満たす範囲を考慮して面積を計算します。最終的に、この図形の面積は求めることができます。
まとめ
この問題では、(1)の増減、(2)のsinθ – cosθおよびtanθの計算、そして(3)の図形の面積を求める方法について解説しました。特に(3)のような図形問題は、式を変形することで解法にたどり着くことが重要です。これらの手順を理解することで、他の似たような問題にも応用できるようになります。
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