この問題では、3次方程式x³ + px² + qx + 20 = 0の解のうち、1 – 3iが与えられています。実数pとqの値を求め、その後、他の解を求める方法について詳しく解説します。
問題の整理と解の特性
与えられた方程式は次の形です。
x³ + px² + qx + 20 = 0
この方程式の1つの解が1 – 3iであることが分かっています。実数係数の多項式の根において、複素数解が存在する場合、その複素数の共役も解であることが分かっています。つまり、1 + 3iも解となります。
pとqの計算方法
3次方程式の解が1 – 3i, 1 + 3i, r（実数）であると仮定します。これにより方程式は次のように因数分解できます。
(x – (1 – 3i))(x – (1 + 3i))(x – r) = 0
まず、(x – (1 – 3i))(x – (1 + 3i))を展開しましょう。
(x – (1 – 3i))(x – (1 + 3i)) = (x – 1 + 3i)(x – 1 – 3i) = (x – 1)² – (3i)² = (x – 1)² + 9 = x² – 2x + 10
したがって、方程式は次のようになります。
(x² – 2x + 10)(x – r) = 0
この式を展開すると。
x³ – rx² – 2x² + 10x – 10r = 0
ここで、与えられた方程式と比較すると。
x³ + px² + qx + 20 = x³ – (r + 2)x² + (10 – r)x – 10r = 0
係数を比較すると、次の関係が得られます。
p = -(r + 2), q = 10 – r, 20 = -10r
20 = -10r より、r = -2 となります。
したがって、pとqの値は次のように求まります。
p = -(r + 2) = -(-2 + 2) = 0
q = 10 – r = 10 – (-2) = 12
他の解を求める
既に1 – 3iと1 + 3iが解であることが分かっています。残りの解はr = -2ですので、方程式のすべての解は次のようになります。
x = 1 – 3i, x = 1 + 3i, x = -2
まとめ
この問題では、複素数の解を利用して実数pとqを求め、最終的に方程式のすべての解を導きました。答えは、p = 0, q = 12 で、解は1 – 3i, 1 + 3i, -2です。この解法を使うことで、複素数が含まれる方程式の解を簡単に求めることができます。
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