54を最小の自然数で掛けて完全な平方数にする方法

中学生数学の問題で、54に最小の自然数を掛けて完全な平方数にする方法について解説します。素因数分解を用いて、なぜ特定の数を掛けると完全な平方数になるのか、詳しく説明します。

完全な平方数とは？

完全な平方数とは、ある自然数を自分自身で掛けた結果得られる数のことです。例えば、1, 4, 9, 16, 25などが完全な平方数です。つまり、これらはそれぞれ1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2のように表すことができます。

完全な平方数にするためには、素因数分解を行い、各素因数が2回以上現れるように調整する必要があります。

まず、54を素因数分解しましょう。54は次のように分解できます。

54 = 2 × 3 × 3 × 3

この分解では、素因数2が1回、素因数3が3回出てきます。完全な平方数にするためには、各素因数の指数が偶数でなければなりません。

ここで、素因数分解した結果を見てみると、素因数3が3回出てきており、偶数回にはなっていません。これを偶数回にするためには、もう1つ3を掛ける必要があります。

また、素因数2はすでに1回しか出ていないので、2をもう1回掛けて2回にする必要があります。したがって、2×3、すなわち6を掛けると、全ての素因数が偶数回現れるため、完全な平方数が得られます。

54 = 2 × 3 × 3 × 3に対して、6を掛けると。

54 × 6 = 2 × 3 × 3 × 3 × 2 × 3 = 2^2 × 3^4 = 36 × 81 = 2916

2916は完全な平方数であり、54に6を掛けることで得られました。

54を完全な平方数にするためには、最小の自然数6を掛ける必要があります。これにより、54の素因数分解が偶数回の素因数を持つ完全な平方数になります。この考え方を応用すれば、他の数についても同じように処理できます。