複素数zの極形式におけるθの定義方法：場合分けなしでの解法

複素数zの極形式を表す際に、θを実軸からの偏角以外で定義する方法について考えます。一般的に、θは複素数z = r(cosθ + i sinθ)における角度であり、x, y成分を用いた場合分けで定義することがよくありますが、場合分けなしでθを定義する方法を理解することが重要です。

1. 複素数の極形式の基本

複素数z = x + iyの極形式は、次のように表されます。

z = r(cosθ + i sinθ)

ここで、rは複素数の絶対値（r = √(x² + y²)）、θは複素数の偏角です。偏角θは、zの実部xと虚部yに対する角度として理解されます。

質問者が直面している問題は、θを場合分けなしで定義する方法です。通常、θをarctan(y/x)を用いて定義し、xの符号に基づいて場合分けを行いますが、これには「atan2」という関数を使うことで、より簡潔に定義することができます。

θ = atan2(y, x)という関数は、xとyの符号に基づいてθを正確に決定します。atan2関数は、与えられた点(x, y)に対して、直感的で簡単に偏角を求めることができます。

atan2関数を使用すると、xとyの符号を自動的に考慮してθを求めることができ、場合分けを避けることができます。例えば、x = 1, y = 1の場合、θ = atan2(1, 1)はπ/4となり、x = -1, y = 1の場合、θ = atan2(1, -1)は3π/4となります。

このように、atan2関数を使うことで、複雑な場合分けを行わずにθを計算できます。

θを場合分けなしで定義するためには、atan2関数を使用するのが最も簡単で効率的です。この関数は、複素数の実部xと虚部yから偏角θを自動的に計算してくれるため、従来のように手動で場合分けを行う必要がありません。

この方法を使うことで、複素数の極形式の計算が簡単になり、数学的な操作がよりスムーズになります。