曲線y=e^xの回転体に関する問題の解法：水の深さhにおける体積Vと水面の面積Sを求める方法

この問題は、曲線y = e^xをy軸の周りに1回転させてできる容器に水を注ぐ際の体積Vと水面の面積Sについてです。まず、問題の条件を理解し、VとSの関係式を導出する方法を見ていきましょう。今回は(2)と(3)の解き方を解説します。

1. (2) VをSで表せ

問題(2)では、水の深さhのときの体積Vを水面の面積Sで表すことが求められています。まず、回転体の体積Vは、次のように求められます。

V = ∫[a, b] π(y(x))² dx

ここで、y(x)は曲線y = e^xの点における値です。曲線をy軸の周りに回転させることで、π(y(x))²が各断面の面積を表します。そして、aからbまで積分することで、回転体の体積を求めることができます。

次に、水面の面積Sは、各水面の高さhに対応するy(x)の値によって求められます。したがって、S = π(y(h))²であり、この関係を使ってVをSで表現することができます。

問題(3)では、水面の面積Sがπとなる瞬間における水面の広がる速さを求めることが求められています。水面の広がる速さは、Sの時間に対する微分として表されます。

まず、S = π(y(h))²という式を時間tで微分することで、dS/dt（速さ）を求めます。この時、y(h)は時間とともに変化するため、y(h)の時間微分を使って計算を行います。具体的には、次のように計算します。

dS/dt = 2πy(h) * dy(h)/dt

ここで、dy(h)/dtは水の注がれる速度、つまりaの割合で増加する水の量です。この値を求めることで、水面の広がる速さが求められます。

この問題では、曲線y = e^xをy軸の周りに回転させてできる容器に水を注ぎ、そこでの体積Vや水面の面積Sを求める方法を学びました。問題(2)では、回転体の体積を面積Sを使って表現する方法、問題(3)では水面がπになる瞬間の速さを求める方法について解説しました。

このような積分と微分の技法を使うことで、回転体に関する様々な物理的な問題を解くことができます。