Hom(A,M)→Mの同型を示す方法：代数学の基本的な理論解説

代数学における重要な問題の一つは、Hom(A,M)→Mが同型であることを示すことです。ここでは、Aを可換環、MをA-加群とした時、この同型をどのようにして示すかについて解説します。特に、準同型と全射は示せたが、単射を証明する方法に焦点を当てます。

Hom(A,M)→Mの準同型性の確認

まず、Hom(A,M)→Mが準同型であることは示されたということです。準同型の定義に従い、任意のf,g∈Hom(A,M)に対して、f+gもHom(A,M)に属し、スカラー倍も保存されることを確認することで、準同型性が成立することがわかります。これにより、Hom(A,M)→Mは準同型写像であることが確定します。

準同型性の確認は、代数の基本的な性質に基づくものであり、ここまでのステップは理論的に非常に簡潔です。

Hom(A,M)→Mの全射性

次に、Hom(A,M)→Mが全射であることを確認します。全射性の証明には、Hom(A,M)の任意の元がMの任意の元に対応することを示さなければなりません。

ここでは、Mの任意の元mがHom(A,M)に存在することを確認することによって、全射性が証明されます。具体的には、任意のm∈Mに対して、mに対応するようなf∈Hom(A,M)を構成できます。

Hom(A,M)→Mの単射性の証明

問題となるのは、Hom(A,M)→Mが単射であることを示すことです。単射性の証明には、Hom(A,M)の元がMに写像される際に、異なる元が同じ元に写されないことを確認する必要があります。

具体的には、Hom(A,M)→Mが単射であるためには、任意のf∈Hom(A,M)がf(a) = 0ならば、a = 0であることを示さなければなりません。この性質を証明するためには、A-加群Mの性質を利用し、Hom(A,M)の定義に基づく推論を行います。

Hom(A,M)→Mの同型性の最終的な確認

最後に、Hom(A,M)→Mが同型であることを示すためには、準同型性、全射性、そして単射性が成立することを確認します。これらが全て成立することにより、Hom(A,M)→Mが同型であることが確定します。

この証明過程では、A-加群の構造や線形性の性質を十分に利用し、代数的な操作を駆使することが求められます。これにより、最終的にHom(A,M)とMが同型であることが証明されます。

まとめ

Hom(A,M)→Mが同型であることを示すためには、準同型性、全射性、そして単射性を順番に証明することが重要です。これらを慎重に検証することで、最終的にこの写像が同型であることが確定します。代数学における同型性の証明は、理論的に多くの重要な結果を導くため、基本的な技法をしっかりと理解しておくことが大切です。