逆像法を使った面積計算に関する問題は、特に幾何学的な視点での理解が求められます。この記事では、曲線y = 1 – x^2のy >= 0の部分をLとしたとき、その上の異なる2点を結ぶ線分の中点の存在範囲と面積比を求める問題について解説します。
問題の理解と解法のステップ
この問題では、まず曲線y = 1 – x^2がどのような形をしているのかを理解することが重要です。この曲線は、x軸との交点が-1と1の位置にあり、y = 0となる部分がx = -1とx = 1の間で定義されています。つまり、y >= 0の部分は-1 <= x <= 1の範囲で存在します。
次に、L上の任意の2点を結ぶ線分の中点を求める必要があります。この中点の範囲を求めることによって、その領域内にある中点の位置を特定できます。逆像法を用いて、この中点が存在する範囲を示し、その面積を求めることが求められています。
中点の範囲を求める
L上の2点をA(x1, y1)およびB(x2, y2)とすると、その中点Cの座標は次のように求められます：C = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)。ここで、x1, x2が-1と1の範囲内であることから、中点のx座標は-1から1の間に位置することが分かります。y座標についても、y1, y2の平均を取るので、y座標が正である範囲内で中点が存在します。
このように、L上の任意の2点を結んだとき、その中点の範囲は、-1 <= x <= 1、0 <= y <= 1の範囲に収まります。この範囲が求めるべき「中点の存在範囲」です。
Lとx軸との囲まれた部分の面積
次に、曲線Lとx軸との間で囲まれる部分の面積を求めます。これは、y = 1 – x^2という関数で定義された領域の面積です。この面積は、積分を用いて求めることができます。
具体的には、積分の式は次のようになります：
面積 = ∫(1 – x^2)dx（x = -1からx = 1まで）。この積分を解くことで、Lとx軸で囲まれる部分の面積を求めることができます。
面積比の計算
最後に、L上の中点の存在範囲とLとx軸との間に囲まれた部分の面積の比を求めます。中点の存在範囲は矩形の領域として求められ、その面積は長さ×高さで計算できます。また、Lとx軸との囲まれた部分の面積は、前述の積分で求めた結果です。この二つの面積の比を計算することで、問題の答えを得ることができます。
まとめ
逆像法を用いたこの問題では、まずL上の2点を結ぶ線分の中点の範囲を求め、その後Lとx軸との間に囲まれる部分の面積を求め、最後にその面積の比を計算しました。問題を解くためには、幾何学的な視点と積分の知識を組み合わせて、効率的に解法を導き出すことが重要です。
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