3次方程式x^3-3x^2+2x+4=0の解と式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)の計算方法

3次方程式x^3-3x^2+2x+4=0の解をα、β、γとしたとき、式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)の値を求める問題です。解法を順を追って詳しく解説しますので、理解を深めながら計算していきましょう。

3次方程式の基本的な理解

与えられた3次方程式x^3-3x^2+2x+4=0において、解α、β、γを求めるために、まずは方程式を因数分解または代数的手法を使って解く必要があります。しかし、問題が求めているのは具体的な解ではなく、解の間に成り立つ式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)の値です。

まずは3次方程式の解の和、積などを求めるために、Vietaの公式を利用します。Vietaの公式により、3次方程式の解には次の関係が成り立ちます。

• α + β + γ = -(-3) = 3
• αβ + βγ + γα = 2
• αβγ = -4

式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)の展開

次に、求める式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)を展開します。この式を展開するためには、まず2つの項を掛け算します。

(α+β)(β+Γ) = αβ + αΓ + β^2 + βΓ

次に、この結果と(Γ+α)を掛け算します。

(αβ + αΓ + β^2 + βΓ)(Γ+α) = αβΓ + α^2β + α^2Γ + αβ^2 + β^2Γ + βΓ^2 + β^2α + γ^2α

これを整理し、Vietaの公式の結果を代入していくと、最終的に次のように簡単に計算ができます。

最終的な計算と解答

式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)の計算結果は、Vietaの公式から得られる値を代入していくことで求められます。具体的な計算手順としては、解の和、積などを使いながら整理していき、最終的に。

(α+β)(β+Γ)(Γ+α) = 10

まとめ：3次方程式の解と式の求め方

3次方程式x^3-3x^2+2x+4=0における解α、β、γを求める際には、Vietaの公式を利用して解の和、積をまず把握します。その後、与えられた式(α+β)(β+Γ)(Γ+α)を展開し、計算していくことで最終的な答えを得ることができます。この問題の重要なポイントは、解の間に成り立つ関係をしっかりと理解して活用することです。