この質問では、関数 f(x) の定数関数であることの証明方法と、平均値定理を使用する際の範囲の取り方について解説します。f'(x) = 0 という条件が与えられた場合、f(x) が区間 [a, b] で定数関数であることを証明する方法を学びます。
平均値定理の概要
平均値定理は、連続で微分可能な関数に対して、ある点で接線の傾きが平均変化率に等しくなるという定理です。具体的には、関数 f(x) が区間 [a, b] で連続であり、(a, b) で微分可能な場合、次のように表現できます。
f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a)
ここで c は区間 (a, b) の中に存在する点です。この定理を使って、f(x) が定数関数であることを証明します。
問題の設定と範囲の取り方
質問者は、「a < x ≦ b」と範囲を取ることについて混乱しています。この範囲の取り方に関して、重要なのは平均値定理を適用する際に、関数 f(x) が区間 [a, b] の端点ではなく、(a, b) 内の任意の点 c において平均変化率が一致することを確認することです。
平均値定理の適用では、f'(x) = 0 となる点 c が (a, b) の中に必ず存在するため、この点での接線の傾きが 0 であることが確認できます。
証明の進め方：f'(x) = 0 の場合
与えられた方程式 x u_x – y u_y = xy の解において、f'(x) = 0 が成り立つとき、関数 f(x) は区間 [a, b] で定数であることを証明します。この場合、f'(x) が 0 という条件が与えられた場合、平均値定理から以下のように説明できます。
f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a) が 0 であるため、f(b) = f(a) が成り立ちます。つまり、関数 f(x) は区間 [a, b] で定数関数となります。
具体例を使った理解
例えば、f(x) = x² の場合、f'(x) = 2x ですが、f'(x) = 0 となるのは x = 0 の点です。このように、x = 0 の点で f'(x) = 0 となる場合、平均値定理を使って、f(x) が定数関数となることが確認できます。
まとめ：範囲の取り方と定数関数の証明
質問で出てきた「a < x ≦ b」という範囲の取り方は、平均値定理を適用するために重要なステップです。特に、f'(x) = 0 の場合に関しては、平均値定理を利用して、f(x) が定数関数であることを証明できます。範囲の取り方に注意し、平均値定理を正しく適用することで、この証明をスムーズに進めることができます。
この証明は数学の基礎を理解するうえで非常に重要な概念となるので、しっかりと確認しておきましょう。
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