部分分数分解の方法と例題：1/x(x-1)'2(x'2+1)

数学の部分分数分解に関する質問について、今回は「1/x(x-1)’2(x’2+1)」の部分分数分解の手順とその解法について解説します。部分分数分解は、複雑な分数式をより簡単な形に分解する手法であり、積分や微分を行う際に非常に有用です。

1. 部分分数分解とは？

部分分数分解は、複雑な有理関数（分数式）を、より単純な分数の和に分解する方法です。これにより、積分や微分が簡単に計算できるようになります。この手法は、分母の多項式が因数分解できる場合に特に有効です。

基本的なアプローチは、分母を因数分解し、それに基づいて部分分数に分解することです。今回は、特定の式を例にとり、具体的な手順を見ていきます。

与えられた式は「1/x(x-1)’2(x’2+1)」ですが、この式には一部記号や変数が明確ではない部分があります。まず、式を明確に定義し直すことが重要です。おそらく、次のような式であると考えられます。

1 / (x(x-1)^2(x^2+1))

この式を部分分数分解するには、まず分母の因数分解を行い、それに基づいて分数の分解を行います。式の分母は「x(x-1)^2(x^2+1)」なので、それぞれの因数に対応する項を設定します。

分解するために、以下のような仮定をおきます。

次に、この仮定に基づいて、分母を合わせて元の式に戻すようにします。

具体的に計算を行うと、分子に関して係数の比較を行い、最終的な部分分数の式を得ることができます。各係数を解くことによって、元の複雑な式が部分分数に分解され、計算が簡単になります。

この計算過程を通じて、部分分数分解の理解が深まり、他の式にも応用できるようになります。

部分分数分解は、複雑な有理関数を単純な形に分解する重要な手法です。今回の例を通じて、分解の基本的な手順を学びました。今後の数学の学習において、この技法をうまく活用することで、さらに多くの問題を解くことができるようになるでしょう。