一様連続性の性質：区間[a,b]から[a,c]への拡張について

大学数学で出てくる一様連続性に関する問題では、区間が拡張される場合にその性質がどのように変化するかを理解することが重要です。この記事では、区間[a,b]で一様連続な関数fが、区間[a,c]で一様連続であるかどうかについて解説します。

一様連続性とは

一様連続性とは、関数がその定義域内でどのような小さな入力の変化に対しても、出力の変化が一様に小さくなる性質を指します。具体的には、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在し、x,yが定義域内で|x-y|<δならば、|f(x)-f(y)|<εが成り立つことです。

この性質は、関数の「連続性」よりもさらに強い条件であり、関数が急激な変化をしないことを保証します。一様連続性は、特に閉区間や有界な区間で重要な役割を果たします。

区間[a,b]で一様連続であるとは

関数fが区間[a,b]で一様連続であるということは、区間[a,b]内の任意の2点について、入力の差が十分に小さいときに出力の差も小さくなることを意味します。つまり、δとεの条件が満たされるということです。

重要なのは、この条件が「区間[a,b]」に対して一様に成立しているということです。つまり、区間内のどの2点を取っても、同じδが適用されるという点が特徴です。

区間[a,c]で一様連続性が成立するか

質問では、fが区間[a,b]で一様連続であるとき、区間[a,c]で一様連続かどうかを問われています。区間[a,b]で一様連続な関数が、区間[a,c]に拡張されても一様連続であるかどうかは一般的に成立します。

理由は、区間[a,b]での一様連続性が、関数fの変化が極端でないことを保証しているため、bより大きい点cまでに拡張した場合でも、その性質が変わることはないからです。ただし、この理論は区間[a,b]が閉区間であり、関数fがその範囲内で連続であることが前提となります。

なぜ自明といえるのか

実際には、区間[a,b]で一様連続な関数fが区間[a,c]でも一様連続である理由は、fが「区間[a,b]」内で変化の度合いに制限を持っているため、区間[a,c]への拡張でもその性質が維持されるからです。従って、fの変化の度合いを支配しているδとεの条件は、区間[a,c]でも同じように適用されることが分かります。

まとめ

区間[a,b]で一様連続な関数fが区間[a,c]でも一様連続であることは自明です。これは、fが区間[a,b]で定義された条件に従って、区間[a,c]まで拡張しても同じ一様連続性が保持されるためです。つまり、bより大きい点まで拡張しても、関数fの性質が変わることはなく、引き続き一様連続であると考えられます。