高階の微分方程式 x"=eˣ の解法と±の符号について

高階の微分方程式を解く際に出てくる±符号についての疑問はよくあります。特に、x”=eˣのような方程式の解法で±がどのように扱われるのかについて、教科書では+の方だけが記載されている場合があります。この現象がどのように起こるのかを理解することは、微分方程式の解法を深く理解するために重要です。

1. 高階の微分方程式の解法

高階の微分方程式 x”=eˣ を解くために、まずはx’をpと置き換えます。これにより、x”=eˣはp dp/dx = eˣに変形されます。次に、積分を用いて解くことができます。

p dp/dx = eˣ の両辺を積分することで、p²/2 = eˣ + C₁の形になります。この時点で得られる解はp = ±√(2eˣ + C₁) です。ここで±の符号が出てくることがわかります。

この問題での±の符号は、積分の過程で自然に現れるものです。p² = 2eˣ + C₁という式を解く際、平方根を取ることで±の符号が付加されます。ここで、±がつく理由は、平方根を取ると正の値と負の値の両方が解として得られるためです。

しかし、教科書や問題で+の方のみが選ばれるのは、通常、x’が速度や他の物理的な意味を持つ場合に、正の値が望ましいとされるからです。つまり、物理的背景においては、負の値が不適切な場合が多いため、正の解のみが採用されることが一般的です。

教科書で±の符号のうち+の方だけが記載される理由は、通常、初期条件や問題の文脈に基づいています。例えば、速度や他の物理量において負の値が適切でない場合、正の解だけを選ぶことになります。

また、問題の文脈により、解の正負が決まる場合もあります。例えば、最初の条件としてx’が正であることがわかっている場合、pは正の値を取ることになります。

微分方程式の解法において±符号が出てくることはよくありますが、その符号をどのように扱うかは問題の文脈に依存します。特に物理的な意味を持つ解の場合、負の値が不適切であれば、+の解のみが採用されます。

今回の問題で出てきた±符号は、解法において必要な過程ですが、最終的な解として+の符号が選ばれるのは、物理的な条件に基づいています。このような背景を理解することは、微分方程式を解く上で重要です。