この問題では、中心角が90°である二つの扇形の面積の差を求めるための方法を探ります。具体的には、点Oを固定し、点Bとその中点Mを用いた二つの扇形の面積の差を、長さa, b, cを用いて求める問題です。
問題の設定と基本情報
問題の設定を整理します。まず、長さがaである線分OAがあります。次に、点Oを固定して、中心角が90°である扇形①を描きます。次に、線分OA上に点B（bの長さ）をとり、その中点Mを用いてさらに扇形②を描きます。扇形①と扇形②の面積の差を求めるのがこの問題の目的です。
この問題を解くために、各扇形の面積を計算し、その差を求める方法を段階的に進めていきます。
扇形の面積の計算
扇形の面積を求める基本的な公式は、次のように表されます。
扇形の面積 = (1/2) * 半径^2 * 中心角（ラジアン）
ここで、扇形①と②はそれぞれ中心角が90°（つまり、π/2ラジアン）の扇形です。したがって、扇形の面積を計算するためには、それぞれの半径を確認する必要があります。
扇形①の面積
扇形①の半径はaです。この扇形の面積は次のように計算できます。
面積① = (1/2) * a^2 * (π/2) = (π/4) * a^2
扇形②の面積
次に、扇形②の半径はb（線分OBの長さ）です。これを使って、扇形②の面積を求めます。
面積② = (1/2) * b^2 * (π/2) = (π/4) * b^2
弧の長さcの計算
扇形②の弧の長さはOMを半径とする扇形の弧の長さとして与えられています。OMの長さは、点MがABの中点であるため、OM = (a + b) / 2 です。この弧の長さcは、次の式で求められます。
弧の長さc = (π/2) * (a + b) / 2 = (π/4) * (a + b)
面積の差を求める
最後に、扇形①と扇形②の面積の差を求めます。扇形①の面積から扇形②の面積を引くことで、次のように計算できます。
面積の差 = 面積① – 面積② = (π/4) * a^2 – (π/4) * b^2 = (π/4) * (a^2 – b^2)
したがって、最終的な面積の差は次のように表されます。
面積の差 = (π/4) * (a^2 – b^2)
まとめ
この問題では、二つの扇形の面積の差を求めるために、扇形の面積公式を使用しました。中心角が90°である扇形の面積は、半径の2乗と中心角に比例することを理解し、与えられた長さaとbを使って計算しました。最終的な面積の差は、(π/4) * (a^2 – b^2) となります。このように、幾何学的な問題も基本的な公式と構造に基づいて解くことができます。
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