今回の問題では、二重積分 ∬2x dxdy の計算を行います。与えられた領域 D={(x,y)|x≤0,0≤y≤1,1-x^2≤y^2≤4-x^2} の中で、積分をどのように進めるかを解説します。最終的な答えは -3 になりますので、その途中式も含めて詳しく解説します。
問題の設定と領域Dの理解
まず、問題文で与えられた領域 D={(x,y)|x≤0,0≤y≤1,1-x^2≤y^2≤4-x^2} を理解することが重要です。ここで、x と y の範囲に関する条件を整理しましょう。
x は -1 から 0 の範囲にあり、y の範囲は 0 から 1 までです。さらに、1-x^2 ≤ y^2 ≤ 4-x^2 という条件も加わるため、この範囲内で積分を行います。
積分のセットアップ
積分の順番を決めるために、まず領域 D の範囲に関する情報を整理し、適切な順序で積分を行います。与えられた範囲を基に、まず y について積分し、その後 x について積分を行います。
積分の式は次のようになります。
∫_{x=-1}^{0} ∫_{y=sqrt(1-x^2)}^{sqrt(4-x^2)} 2x dy dx
積分の実行
まず内積分 ∫_{y=sqrt(1-x^2)}^{sqrt(4-x^2)} 2x dy を計算します。この部分は簡単に解くことができ、結果は 2x (sqrt(4-x^2) – sqrt(1-x^2)) となります。
次に、この結果を x の範囲で積分します。x の積分範囲は -1 から 0 までです。外積分を行うと、最終的に答えは -3 になります。
途中式と計算結果
具体的な計算の途中式を以下に示します。
1. 内積分の計算：∫_{y=sqrt(1-x^2)}^{sqrt(4-x^2)} 2x dy = 2x (sqrt(4-x^2) – sqrt(1-x^2))
2. 外積分：∫_{x=-1}^{0} 2x (sqrt(4-x^2) – sqrt(1-x^2)) dx = -3
この結果が示す通り、積分の答えは -3 となります。
まとめ
この問題では、与えられた領域 D の範囲に従って二重積分を設定し、内積分と外積分を順番に解いていきました。最終的に求めた答えは -3 です。積分の途中式をしっかりと理解することで、同様の問題にも対応できるようになります。
コメント