多項式をある式で割ったときの余りは、余り定理を使って簡単に求めることができます。この問題では、f(x)という多項式を(x-a)^2で割ったときの余りを求めることが求められています。この余りを、a、f(a)、f'(a)を使って表現する方法について解説します。
余り定理とは？
余り定理は、ある多項式を(x – c)で割ったとき、その余りは多項式f(x)のcにおける値f(c)であるというものです。これは、x = cを代入したときに、その多項式がそのまま余りを返すというものです。これを利用すると、多項式を簡単に割り算して余りを求めることができます。
今回は(x-a)^2で割るため、この余りはx = aの近くでの値や微分を使って求めます。
(x – a)^2 で割ったときの余り
多項式f(x)を(x – a)^2で割ったとき、その余りは次のように表されます。
余りは、f(x)を(x – a)^2で割った結果として、1次式の形で現れます。具体的には、余りは次のように表せます。
f(x) = (x – a)^2 * q(x) + R(x)
ここで、R(x)は余りで、次の形になります。
R(x) = A(x – a) + B
このとき、AとBは定数で、f(a)とf'(a)を使って求めることができます。
余りを求めるためのステップ
まず、f(x)のx = aにおける値を求めることで、Bの値を求めます。
f(a) = B となります。次に、f(x)を微分して、x = aにおけるf'(a)を求めます。この微分を使って、Aの値を求めることができます。
実際の計算方法
具体的な計算例を考えましょう。f(x) = x^3 – 3x + 2の場合を例にとります。
1. f(a)を計算する: f(a) = a^3 – 3a + 2
2. f'(x)を求めて、x = aでの値を計算する: f'(x) = 3x^2 – 3, f'(a) = 3a^2 – 3
これにより、余りR(x) = A(x – a) + Bを具体的に求めることができます。
まとめ
多項式f(x)を(x-a)^2で割ったときの余りは、余り定理と微分を組み合わせることで簡単に求めることができます。f(a)とf'(a)を使うことで、余りの式を明確に導き出すことができます。計算手順に慣れることで、より複雑な問題にも対応できるようになります。
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