加法定理における括弧の順番は決まっているのか？ sin(45+30) の計算方法

加法定理を使った三角関数の計算は、特に中学や高校の数学でよく出題されます。今回は「sin(45+30)」という問題に対して、括弧の順番に決まりがあるのかという質問について詳しく解説します。

1. 加法定理の基本

加法定理とは、三角関数において角度の和や差を計算するための公式です。具体的には、sin(A + B)、cos(A + B)、tan(A + B)のように、二つの角度の和を三角関数で表現する公式です。

加法定理は以下のように表現されます。

質問で挙げられている「sin(45 + 30)」のような式では、通常、括弧の中の角度をそのまま足し算してから三角関数を計算します。しかし、加法定理を使う際には、この順番を変更することはありません。つまり、加法定理においては、角度をそのまま加算する必要があります。

たとえば、sin(45 + 30)の場合、加法定理を適用する前に、まず45°と30°を足して75°を得ることになります。その後、sin(75°)を計算します。これにより、sin(45 + 30)はsin(75°)として計算することができます。

加法定理を使わずに、実際にsin(45 + 30)を計算してみましょう。

まず、加法定理を使うと、sin(45 + 30)は次のように分解できます。

sin(45 + 30) = sin45 * cos30 + cos45 * sin30

次に、各三角関数の値を代入します。

これを式に代入すると。

sin(45 + 30) = (√2 / 2) * (√3 / 2) + (√3 / 2) * (1 / 2)

計算していくと、最終的にsin(75)となり、その値は約0.9659です。

加法定理では、括弧の中の角度をそのまま足すことが基本です。「sin(45 + 30)」の場合、まず45°と30°を足し、その後加法定理を使って計算するのが正しい方法です。従って、括弧の順番に決まりはなく、加法定理に従って計算します。

もし加法定理に慣れていない場合は、何度も練習して理解を深めていくことが大切です。三角関数は他の数学的な問題にも応用されるので、しっかりと基礎を固めていきましょう。