この問題では、三角関数や逆三角関数を使わずに、θ = -arcsin(4/5) のときに sin(θ/2) の値を求める方法を探ることが求められています。まず、問題を分解してその考え方を説明します。
1. 基本的な情報
まず、θ = -arcsin(4/5) という式に注目します。arcsin(4/5) は角度θを求める逆三角関数です。この逆三角関数の結果としてθは、sinθ = -4/5 となります。ここで重要なのは、sin(θ)が-4/5であることを使って、θ/2を求める過程です。
2. 半角の三角関数の公式
次に、sin(θ/2)を求めるために、半角の三角関数の公式を使います。sin(θ/2)を求める公式は以下のようになります。
sin(θ/2) = ±√[(1 – cosθ) / 2]
ここで±がついている理由は、角度θ/2の符号が状況によって変わる可能性があるためです。しかし、θが負であることから、sin(θ/2)も負の値になります。
3. cos(θ)の値を求める
次に、cos(θ)を求めます。θのsinが-4/5であることがわかっているので、ピタゴラスの定理を使ってcos(θ)を求めます。
cos²(θ) + sin²(θ) = 1
cos²(θ) + (-4/5)² = 1
cos²(θ) + 16/25 = 1
cos²(θ) = 1 – 16/25 = 9/25
cos(θ) = -3/5（θが負であるため、cos(θ)も負です）
4. sin(θ/2) の値を計算する
最後に、半角の三角関数の公式に値を代入してsin(θ/2)を計算します。
sin(θ/2) = -√[(1 – (-3/5)) / 2]
sin(θ/2) = -√[(1 + 3/5) / 2]
sin(θ/2) = -√[(8/5) / 2] = -√(4/5)
sin(θ/2) = -2/√5
5. 結論
よって、θ = -arcsin(4/5) のとき、sin(θ/2)の値は -2/√5 となります。この方法で、三角関数や逆三角関数を使わずに問題を解くことができました。
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