数学の問題解説: aの有利化、bの値の計算、複雑な式の求解

この問題では、式の有利化、数値計算、そして多項式の計算が含まれています。各問におけるステップごとの解法を見ていきます。

1. aの分母の有利化
2. aの小数部分bの計算とa² + b²の値
3. 複雑な式の計算: a⁴ – b⁴ + 2ab² – a²
4. まとめ

1. aの分母の有利化

与えられた式a = (√3 + 2) / (√3 + 1)を有利化します。まず、分母と分子に(√3 – 1)を掛けます。これにより、分母が有理化されます。計算を進めると、最終的な式はa = (√3 + 2)(√3 – 1) / ((√3 + 1)(√3 – 1))となります。計算を続けると、分母は2となり、分子は3 – 1 + 2√3となります。これにより、a = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3という結果になります。

2. aの小数部分bの計算とa² + b²の値

a = 1 + √3となったので、aの小数部分をb = 0.732として求めることができます。次に、a² + b²の計算を行います。a² = (1 + √3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3となり、b²は0.732² ≈ 0.536となります。したがって、a² + b² ≈ 4 + 2√3 + 0.536となり、a² + b² ≈ 4.536 + 2√3です。

3. 複雑な式の計算: a⁴ – b⁴ + 2ab² – a²

bを(2)で求めた値0.732とし、次に式a⁴ – b⁴ + 2ab² – a²を計算します。まず、a⁴ = (1 + √3)⁴を計算し、b⁴ = (0.732)⁴、そして2ab² = 2 * (1 + √3) * 0.732²を求めます。これらを式に代入して計算を続けることで最終的な値を求めます。