柿、りんご、みかんの果物選びの組み合わせ問題の解法

この問題は、組み合わせの計算に関する問題であり、異なる条件に基づいて果物を買う方法を求めるものです。具体的には、3種類の果物から10個を選ぶ場合の組み合わせを計算します。条件に応じて、どのようにアプローチするかを考えます。

①買わない果物があっても良い場合の計算方法

まず、条件①では、買わない果物があっても構わないということです。つまり、柿、りんご、みかんの3種類から10個を選ぶ際に、果物を1種類も選ばないということも可能です。

この場合、各果物の選択数を自由に決められるので、次のように計算します。各果物を0個以上選ぶという問題です。10個の果物を3種類に分ける方法としては、3種類の果物を入れた「袋」に10個を分ける方法を考えます。この問題は「整数の分割」の問題で、次の公式を使います。

10個を3つのグループに分ける方法の数は、次の組み合わせ公式で求めます：
(n + r – 1) C (r – 1) ＝ (10 + 3 – 1) C (3 – 1) = 12 C 2 = 66
したがって、この場合の答えは66通りです。

②どの果物も少なくとも1つは買う場合の計算方法

次に、条件②では、どの果物も少なくとも1つは買うという条件があります。この場合、最初に各果物に1つずつ選ぶことを決め、その後残りの7個を自由に分けます。

まず、10個のうち3個を各果物に1つずつ振り分けた後、残りの7個を3種類の果物に分けます。これは再び「整数の分割」の問題です。7個を3種類に分ける方法は次の公式を使います。

残り7個を3種類の果物に分ける方法の数は、
(7 + 3 – 1) C (3 – 1) = 9 C 2 = 36
したがって、条件②の場合、答えは36通りです。

まとめ

この問題では、条件①と条件②に基づいて、異なる方法で果物の組み合わせを計算しました。条件①では買わない果物があってもよいため、自由に分ける方法で66通りの組み合わせが得られました。条件②では、どの果物も1つ以上買う必要があるため、残りの7個を3種類に分ける方法で36通りとなりました。数学的なアプローチを使って組み合わせの問題を解く際には、条件をしっかりと確認し、それに合った計算方法を選ぶことが重要です。