フーリエ級数は周期関数を三角関数の和として表現する重要な方法です。ここでは、与えられた関数のフーリエ級数を求める手順を解説します。
1. フーリエ級数の基本
フーリエ級数は、周期関数を正弦波と余弦波の線形和として表す方法です。周期2πをもつ関数に対して、フーリエ級数は次の式で表されます。
f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx)) (n = 1, 2, 3, …)
ここで、a₀, aₙ, bₙはフーリエ係数と呼ばれ、以下の式で求められます。
- a₀ = (1/π) ∫₋π⁰ f(x) dx + (1/π) ∫₀π f(x) dx
- aₙ = (1/π) ∫₋π⁰ f(x) cos(nx) dx + (1/π) ∫₀π f(x) cos(nx) dx
- bₙ = (1/π) ∫₋π⁰ f(x) sin(nx) dx + (1/π) ∫₀π f(x) sin(nx) dx
2. (1) f(x) = -1(-π < x < 0), 1(0 ≦ x ≦ π) のフーリエ級数
この関数は、xの値によって異なる定数で定義されています。まず、この関数に対してa₀, aₙ, bₙを求めるために、それぞれの区間に分けて積分を計算します。
a₀の計算
a₀は、与えられた関数の平均値に相当します。ここでは、区間-πから0までと0からπまでで分けて計算します。積分結果を求めてa₀の値を計算します。
aₙとbₙの計算
次に、aₙとbₙをそれぞれ計算します。これも同様に、区間-πから0、0からπに分けて積分を行います。
3. (2) f(x) = x²/π のフーリエ級数
次に、f(x) = x²/π のフーリエ級数を求めます。この関数はx²という2次関数であり、フーリエ級数に変換するために必要なa₀, aₙ, bₙを求めます。
a₀の計算
a₀は次のように計算されます。積分を行い、平均値を求めます。
aₙとbₙの計算
aₙとbₙの計算は、x²に関する正弦波と余弦波を使って行います。
4. まとめと結果の確認
それぞれの関数のフーリエ級数を求める手順として、a₀, aₙ, bₙの計算方法を学びました。積分を使って各フーリエ係数を求めることで、与えられた関数を三角関数の和として表現することができました。計算した結果が正しいかどうかを確認し、フーリエ級数が適切に求められていることを確認します。
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