2ケタの自然数の積の計算方法を文字式で証明する

数学の証明問題でよく出題されるのが、特定の計算方法が正しいことを示す問題です。この記事では、「一の位の数が等しく、十の位の数の和が10になる2つの2ケタの自然数の積は、特定の計算方法で求められる」ことを証明する方法を、文字式を使って解説します。

問題の理解とステップ

問題は、以下の計算方法が正しいことを証明するというものです。

1) 下2ケタには、一の位の数の2乗を書く。
2) 百以上の位には、2つの十の位の数の積と一の位の数との和を書く。

まず、問題文にある「一の位の数が等しく、十の位の数の和が10になる2つの2ケタの自然数」という条件に注目します。この条件を満たす2つの2ケタの数を「ab」と「(10 – a)b」と置きます。

まず、与えられた数を文字式で表すと、次のようになります。

2つの2ケタの数「ab」と「(10 – a)b」は、次のように書き換えられます。

ab = 10a + b, (10 – a)b = 10(10 – a) + b

これらの積を求めるために、まず次の式で計算します。

(10a + b) × (10(10 – a) + b)

ここで、式を展開していきます。

10a × 10(10 – a) + 10a × b + b × 10(10 – a) + b × b

次に、これを整理していきます。

整理すると、次のような形になります。

100a(10 – a) + 10ab + 10b(10 – a) + b^2

これが元々求めていた計算方法です。最初の部分、100a(10 – a)は、百の位にあたる部分です。そして、10ab + 10b(10 – a)が十の位にあたる部分となり、最後にb^2が下2ケタになります。

このように、2ケタの数の積の計算方法は、文字式を使って計算を展開することで正しいことが確認できました。与えられた数の条件に従って、式を整理し、適切に計算を行うことで、正しい答えを導き出すことができます。この証明方法を理解することで、他の数学の証明問題にも応用できるようになります。