tanαtanβ=1の証明と加法定理を使った解析：α+β=π/2について

数学的な証明において、「tanαtanβ=1」のときにα+β=π/2であることを証明する問題があります。加法定理を用いた証明方法を見ていきながら、この主張が数学的に正しいかどうかを考察します。

加法定理の復習とtanの計算式

まず、加法定理を使うことでtan(α+β)を次のように表すことができます。

tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanαtanβ)

ここで、tanαtanβ = 1 という条件が与えられています。この条件を代入すると、分母は次のようになります。

1 – 1 = 0

つまり、tan(α+β)の分母が0になるため、この式は定義されなくなります。

tanが定義されないとは、tan(α+β)が無限大に発散することを意味します。tan関数が定義されない場合、xの値は次のようになります。

x = π/2 + nπ (nは整数)

これによって、tan(α+β)が無限大になるため、α+βの値はπ/2+nπであることが分かります。

問題文において、0 < α, β < π/2 と与えられています。この範囲に収まるnの値はn=0の場合のみです。したがって、α+βはπ/2である必要があります。

このようにして、tanαtanβ=1のとき、α+β=π/2 であることが確認できました。

「tanαtanβ=1のとき、α+β=π/2である」という主張は、加法定理とtan関数の性質を利用して正しいことが証明できました。加法定理を使ってtan(α+β)の分母が0になることを理解し、その結果としてtan(α+β)が無限大に発散することを示すことで、α+β=π/2という結論が導かれます。