物理の問題解説：小球が壁に衝突するための速さの条件

物理の問題で、鉛直に立つ壁に向かって小球を投げ上げるとき、その速さvが壁に衝突するために満たすべき条件を求める問題です。特に、速度vが満たすべき条件をθ, L, gを用いて表す方法について解説します。

問題の整理と仮定

問題の設定は、小球が壁から水平距離Lだけ離れた点Oから投げ上げられ、空気抵抗は無視し、重力加速度はgとします。まず、小球が床に衝突する前に壁に衝突するために必要な速さvを求めるために、いくつかの時間計算を行います。

まず、壁に衝突するまでの時間tを求めます。小球が壁に向かって進む時間tは、水平距離Lと速さvの関係から、t = L / (v * cosθ) と表されます。

次に、小球が最高点に到達するまでにかかる時間t’は、垂直方向の速度成分を考慮して、t’ = 2v * sinθ / g となります。床に衝突するまでの時間は、この時間の2倍なので、t” = 4v * sinθ / g となります。

小球が壁に衝突する前に床に衝突しないためには、壁に衝突するまでの時間tが床に衝突するまでの時間t’よりも短い必要があります。したがって、t < t' の関係式を用いて、vが満たすべき条件を求めます。

式に代入すると、√(gL / (2sin2θ)) < v となり、これが小球が壁に衝突するために必要な最小の速さvの条件となります。

質問者が考えた式 √(gL / 2sin2θ) < v と、解答で与えられた式 √(gL / sin2θ) < v について比較すると、後者の式が正しいです。誤差が生じた原因は、時間計算におけるsinθの取り扱いに誤りがあるためです。

正しい解法では、sin2θを用いて時間計算を正確に行い、最終的にvの条件が √(gL / sin2θ) < v となります。

この問題では、小球が壁に衝突する前に床に衝突しないための速さvの条件を求める必要があります。適切な時間計算を行うことで、正しい条件式が導き出されます。最終的に、vが満たすべき条件は √(gL / sin2θ) < v となり、これを基に速度を決定することができます。