y=-2x²+4x+3 の平方完成の解説：なぜ頂点が(1,5)になるのか

今回は、二次関数 y = -2x² + 4x + 3 の平方完成について解説します。特に、なぜ頂点が (1,5) になるのか、その過程を詳しく説明します。

1. 平方完成とは？

平方完成とは、二次方程式の形を変えて、グラフの頂点を求めるための方法です。二次方程式は一般的に y = ax² + bx + c の形をしていますが、これを頂点形式に変形することで、グラフの特徴を簡単に把握することができます。

頂点形式とは、y = a(x – h)² + k という形です。この形で表される式は、頂点が (h, k) という点になることが分かります。

まず、与えられた式 y = -2x² + 4x + 3 を頂点形式に変換していきます。ここでは、x² の係数が -2 であることに注意しましょう。

まず、-2 を因数として括り出します。

y = -2(x² – 2x) + 3

次に、x² – 2x の部分を平方完成します。平方完成するためには、x² の係数の半分を二乗して足します。この場合、-2 の半分は -1 で、-1 を二乗すると 1 になります。

そのため、x² – 2x は次のように変形できます。

x² – 2x + 1 – 1 = (x – 1)² – 1

これを元の式に代入すると、次のようになります。

y = -2((x – 1)² – 1) + 3

そして、-2 を括弧内の両項にかけます。

y = -2(x – 1)² + 2 + 3

最終的に、次のような式になります。

y = -2(x – 1)² + 5

この式 y = -2(x – 1)² + 5 の頂点形式を見てみましょう。ここで、(x – 1)² の部分は最小値 0 を取ります（x = 1 の時）。そのため、y の値は -2 × 0 + 5 となり、y = 5 になります。

したがって、この二次関数の頂点は (1, 5) となります。

このように、平方完成を使うと簡単に頂点を求めることができます。

y = -2x² + 4x + 3 の平方完成を行うことで、頂点が (1,5) であることが分かりました。平方完成は、二次関数のグラフの形状や頂点を理解するためにとても役立つ方法です。このような問題を解く際には、まず式を整理し、次に平方完成を行うことで解決できます。