この記事では、高校数学の問題を解くために、2つの不等式におけるa, b, c, dの値を求める方法を詳しく解説します。問題①と問題②における解法を順を追って説明します。
問題①の解法：x^2 + 8x + 36 >= a のa, bを求める
まず、問題①では、すべての実数xに対してx^2 + 8x + 36 >= aが成り立ち、等号が成り立つ点x = bを求める問題です。この式は2次式ですので、平方完成を使って解きます。
式x^2 + 8x + 36を平方完成します。
x^2 + 8x + 36 = (x + 4)^2
これにより、x^2 + 8x + 36は(x + 4)^2に変換されます。よって、この式が最小値をとるのは、x = -4のときです。このとき、(x + 4)^2は0となります。
したがって、最小値aは0であり、x = -4のときに等号が成り立ちます。したがって、a = 0, b = -4が求める解です。
問題②の解法：(x + 1)(1/x + 1/4) >= c のc, dを求める
問題②では、すべての正の実数xに対して(x + 1)(1/x + 1/4) >= cが成り立ち、等号が成り立つ点x = dを求める問題です。この式も不等式ですので、まず式を簡単化して、最小値を求めます。
式(x + 1)(1/x + 1/4)を展開すると。
(x + 1)(1/x + 1/4) = (x + 1) * (1/x) + (x + 1) * (1/4)
これを計算すると。
= 1 + 1/x + (x + 1)/4
ここで、この式をxに関して微分し、最小値を求めます。微分を行った結果、最小値が得られるxの値がx = 2です。
x = 2のとき、この式の値はc = 5/2となります。したがって、c = 5/2, d = 2が求める解です。
まとめ
問題①では、x^2 + 8x + 36の最小値を求めるために平方完成を使い、a = 0, b = -4と求めました。問題②では、式(x + 1)(1/x + 1/4)の最小値を求めるために微分を使い、c = 5/2, d = 2と求めました。このように、各種の手法を駆使して、数学的な問題を解くことができました。
コメント